Tồn tại một cân bằng Nash cho mọi trò chơi gồm   n {\displaystyle \ n} người chơi.[1]

Chứng minh định lý Nash

Ta chỉ chứng minh cho trò chơi gồm 3 người gồm Elaine, George và Neumann, trường hợp tổng quát được chứng minh tương tự.

Ta sẽ chứng minh tồn tại chiến lược hỗn hợp   p ∗ , q ∗ , r ∗ {\displaystyle \ p^{*},q^{*},r^{*}} là cân bằng Nash của trò chơi.

Chứng minh này dùng Định lý điểm bất động Kakutani.

Cho hàm tập hợp   f : X → s Y {\displaystyle \ f:X\to _{s}Y} , một điểm bất động của   f {\displaystyle \ f} là một điểm   x ∗ {\displaystyle \ x^{*}} trong   X {\displaystyle \ X} sao cho   x ∗ ∈ f ( x ∗ ) {\displaystyle \ x^{*}\in f(x^{*})} .

Định lý điểm bất động Kakutani: Cho   X {\displaystyle \ X} là một đa diện trong không gian   R n {\displaystyle \ R^{n}} và   f : X → s Y {\displaystyle \ f:X\to _{s}Y} là hàm tập hợp thỏa mãn   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} tập lồi trong   X {\displaystyle \ X} với mọi   x ∈ X {\displaystyle \ x\in X} . Nếu đồ thị của   f {\displaystyle \ f} là tập đóng trong   X × X {\displaystyle \ X\times X} thì tồn tại   x ∗ ∈ X {\displaystyle \ x^{*}\in X} sao cho   x ∗ ∈ f ( x ∗ ) {\displaystyle \ x^{*}\in f(x^{*})} .

Hướng chứng minh định lý Nash:

• Xây dựng đa diện   X {\displaystyle \ X} trong không gian   R m {\displaystyle \ R^{m}} . Bằng cách đặt   m = n E + n G + n N {\displaystyle \ m=n_{E}+n_{G}+n_{N}} , các vector   w {\displaystyle \ w} trong   R m {\displaystyle \ R^{m}} được định nghĩa:   w = ( p , q , r ) = ( p 1 , p 2 , . . . , p N E , q 1 , q 2 , . . . , q n G , r 1 , r 2 , . . . , r n N ) {\displaystyle \ w=(p,q,r)=(p_{1},p_{2},...,p_{N_{E}},q_{1},q_{2},...,q_{n_{G}},r_{1},r_{2},...,r_{n_{N}})}
• Định nghĩa hàm tập   F {\displaystyle \ F} trên   X {\displaystyle \ X} như sau:

  F ( p , q , r ) = { ( p ′ , q ′ , r ′ ) | p ′ ∈ P ( q , r ) , q ′ ∈ Q ( p , r ) , r ′ ∈ R ( p , q ) } {\displaystyle \ F(p,q,r)=\{(p^{'},q^{'},r^{'})|p^{'}\in P(q,r),q^{'}\in Q(p,r),r^{'}\in R(p,q)\}} .Chứng minh   F ( p , q , r ) {\displaystyle \ F(p,q,r)} là tập lồi.

• Chứng minh đồ thị   G F {\displaystyle \ G_{F}} là tập con đóng trong   R 2 m {\displaystyle \ R^{2m}} .

Khi đó theo định lý điểm bất động Kakutani tồn tại một điểm bất động của   F {\displaystyle \ F} , nghĩa là ta tìm được một điểm   w ∗ {\displaystyle \ w^{*}} sao cho   w ∗ ∈ F ( w ∗ ) {\displaystyle \ w^{*}\in F(w^{*})} và định lý đã được chứng minh vì   w ∗ = ( p ∗ , q ∗ , r ∗ ) {\displaystyle \ w^{*}=(p^{*},q^{*},r^{*})} được tạo thành từ 3 vector   p ∗ {\displaystyle \ p^{*}} ,   q ∗ {\displaystyle \ q^{*}} và   r ∗ {\displaystyle \ r^{*}} sao cho   p ∗ ∈ P ( q , r ) {\displaystyle \ p^{*}\in P(q,r)} ,   q ∗ ∈ Q ( p , r ) {\displaystyle \ q^{*}\in Q(p,r)} và   r ∗ ∈ R ( p , q ) {\displaystyle \ r^{*}\in R(p,q)} . Điều này chứng tỏ   p ∗ {\displaystyle \ p^{*}} ,   q ∗ {\displaystyle \ q^{*}} và   r ∗ {\displaystyle \ r^{*}} là một cân bằng Nash.